FMM
Lärare
Kurs-PM
Kursplanering
Loggböcker
Extentor
Frivilliga Hemtal
Obligatorisk Inlämningsuppgift
Schema
Kurslitteratur
Kända tryckfel i FMM 4e uppl
PDF och Postscript
Kurs-PM finns även tillgängligt som pdf och postscript.
Ämnesbeskrivning
Nästan samtliga modeller av verkliga fysikaliska problem ger upphov till differentialekvationer med derivator av flera variabler, s.k. partiella differentialekvationer. Kunskap om dessa differentialekvationer och deras lösningar utgör nyckeln till förståelsen av stora områden inom klassisk och modern fysik, samt många andra problem som kan modelleras genom kunskap om lokala samband. Det finns tre klassiska ekvationer: Laplaces ekvation, diffusionsekvationen, och vågekvationen. Dessa ekvationer, som är linjära och av andra ordningen, beskriver en stor mängd fenomen som vi kan se omkring oss; den elektriska potentialen i ett område utan inre laddningar uppfyller t.ex. Laplaces ekvation, vilket också gäller temperaturfördelningar vid jämvikt. Diffusionsekvationen är en modell för värmeledning och andra sorters strömning (även elektrisk ström). Vågekvationen handlar om fortskridande störningar och förklarar bl.a. dispersion och reflektion, fenomen som är viktiga att förstå inom signalövervföring.
Vi kommer i kursen att modellera och lösa ett antal problem med olika sorters partiella differentialekvationer. På vägen kommer vi samtidigt att få se en mycket djup och vacker förening av algebra, analys och fysik. Precis som vi tidigare har använt Fourierserier, så visar det sig att nästan alla funktioner kan utvecklas i olika val av basfunktioner i ett mycket generellt matematiskt rum. Liksom det finns egenvektorer till matriser, så kommer vi att upptäcka att det finns egenfunktioner till operatorer som Laplaceoperatorn.
När högerledet i ekvationerna ovan är skilda från noll kommer vi att se att man med fördel kan skriva lösningarna med hjälp av generella impulssvarsfunktioner, s.k. greenfunktioner (dvs., en viss "störning" i högerledet ger ett visst svar som lösning). Lösningarna blir integraler och har ofta en enkel fysikalisk tolkning.
Ett annat område som ingår i kursen är variationskalkyl. Det är metoder att finna maxima och minima av funktionaler, dvs. avbildningar av funktioner i stället för vanliga koordinater. Vi söker alltså även här en okänd funktion av en eller flera variabler. Lösningsförfarandet vid variationsproblem leder också till differentialekvationer och det visar sig att många problem kan formuleras både som en partiell differentialekvation och som en variationsprincip.
De senaste decennierna har datorernas intåg gjort numeriska metoder, t.ex. finita elementmetoden (FEM, du har kanske sett bilder från krockprovsberäkningar med en bilmodell, som är indelad i små trianglar), alltmer användbara för att lösa partiella differentialekvationer. Under kursen kommer vi att ge små smakprov på numeriska lösningar. I början av kursen kommer vi också att repetera och utvidga viktiga delar av vektor- och tensorräkning.
Kursupplägg
Kursen omfattar 15 dubbeltimmar föreläsningar och 18 dubbeltimmar övningar. Tider och salar anges under länken "Schema" till vänster. Vilka som undervisar i kursen anges under länken "Lärare".
Kurslitteratur
Se länken "Kurslitteratur" till vänster.
Examination
Kursen har tre olika moment: en tentamen i tensorräkning (1 p), en tenta i partiella differentialekvationer (3 p), och en obligatorisk hemuppgift med mutlig redovisning (1 p). De fem frivilliga hemtalen kan ge bonuspoäng till PDE-tentamen.
Tillåtna hjälpmedel till tentamen:
- Teoretisk fysiks formelsamling
- Spiegel, Mathematical Handbook
- Josefsson, Formel- och tabellsamling i matematik
- NBS Handbook of Mathematical Functions
- TEFYMA
- BETA
Tentamen i tensorräkning
Avsnittet om tensorräkning kommer att examineras i en separat tentamen. Tensortentamen består av tre uppgifter som maximalt kan ge tre poäng vardera. Betyg G ger en studiepoäng och garanteras för mer än 5 poäng.
Hemtal
Fyra frivilliga hemtal kommer att delas ut under kursens gång. Varje hemtal kan ge upp till 0,5 poäng. Vi bedömmer hela presentationen och inte bara om svaret är rätt. Hemtalspoängen gäller för PDE-tentorna men endast under läsåret 2006-2007.
Lösta uppgifter lämnas in senast i början av övningen eller föreläsningen på angivet datum enligt kursplaneringen. Inga försenade uppgifter godkänns. Var och en skall kunna svara för sin egen inlämnade uppgift. Enbart handskrivna lösningar godkänns.
PDE-tentamen
PDE-tentamen består av fem uppgifter som ger tre poäng vardera. Poängen från de fem hemtalen läggs samman och avrundas till närmaste halvtal. Detta läggs sedan till poängen från de två första tentamensuppgifterna, man kan dock inte få mer än 6 poäng, inklusive eventuella hemtalspoäng, på de två första uppgifterna.
Betygsgränser är:
- Betyg 3: garanteras för minst 6 poäng
- Betyg 4: garanteras för minst 10 poäng
- Betyg 5: garanteras för minst 13 poäng
Obligatorisk inlämningsuppgift
Avsnittet om numeriska metoder kommer att examineras med en obligatorisk inlämningsuppgift. Denna del av kursen är separat och kommer därför inte att dyka upp på tentamen. Uppgiften ger ett studiepoäng. Uppgiften skall finnas senast måndagen den 10 oktober på kursens hemsida.
- Den obligatoriska inlämningsuppgiften skall vara inlämnad i slutgiltigt skick senast måndagen 24 november kl 13.00.
Med förhoppning om en givande och trevlig kurs
Martin Hallnäs, Tomas Hällgren och Edwin Langmann