Hem
Lärare
Föreläsningar

Övningar
Extentor
Kurslitteratur

Hemtal
Numerisk inlämningsuppgift


Fysikens Matematiska Metoder, Del 2

Föreläsningsblog

Denna sida kommer innehålla planering för framtida föreläsningar samt korta sammanfattningar av de föreläsningar som varit.

Föreläsningsanteckningar: Föreläsning 1-8, Föreläsning 8-11
Matlabexempel: Se separat sida


Föreläsningsplanering

Planeringen är preliminär och kan komma att ändras
Föreläsning 1: Genomgång av kursens mål, PM, och administration. Matematiska modeller av fysikaliska system: Diffusion. Rand- och begynnelsevillkor. Överföring av inhomogeniteter till BV. [1.1-1.3,1.6]
Föreläsning 2: Matematisk modellering: Vågekvationen, Laplace ekvation, grundlägande variabelseparation av homogena system. [1.4-1.6,1.10,3.2,7.1]
Föreläsning 3: Diskreta fysikaliska modeller. Numerisk lösning av partiella differentialekvationer. Utlämning av numerisk inlämningsuppgift. [2]
Föreläsning 4: Relation mellan diskreta och kontinuerliga modeller. Hilbertrum och symmetriska operatorer. Sturm-Liouville-problem. [3.2,H.1-H.3,H.8-H.11,H.13]
Föreläsning 5: Tidsoberoende system med inhomogena RV. Laplaceoperatorn som Sturm-Liouvilleoperator och dess egenvärden i polära/cylinderkoordinater med fysikaliska applikationer. [3.3,3.4,3.6,S.2,S.3]
Föreläsning 6: Tillämpning av Besselfuktioner. Laplaceoperatorn som Sturm-Liouvilleoperator och dess egenvärden i sfäriska koordinater med fysikaliska applikationer. [3.4,S.4,S.5]
Föreläsning 7: Påtvingade svängningar och kritiska diffusionssystem. [3.3]
Föreläsning 8: Modifierade Besselfunktioner. Mer allmänna geometrier. Grundläggande distributionsteori. [3.6, D]
Föreläsning 9: Fysikalisk tolkning av transformer av fysikaliska system. Inledning till Greenfunktioner. [4,5.1]
Föreläsning 10: Greenfunktionsmetoder för lösning av fysikaliska problem. Energiresonemang i svängande system. [5.2,5.4,5.5,7.2]
Föreläsning 11: Sammanfattning, repetition och reservtid.

Hänvisningar inom hakparenteser [] refererar till var motsvarande står i Sparr och Sparr. Notera att även avsnitt som inte står med här kan hjälpa till i förståelsen av materialet. Föreläsningarna kommer dock att belysa de viktigare aspekterna av materialet och försöka ge en annan infallsvinkel.


Föreläsningssammanfattningar

Föreläsning 1: Vi diskuterade olika fall som kan beskrivas av diffusionsekvationen med tonvikt på de fysikaliska resonemangen som kan användas för att avgöra hur lösningen bör se ut. Som exempel studerade vi värmeledning i en dimension med en punktkälla och argumenterade oss till hur lösningen borde se ut både på matematiska och fysikaliska grunder. Vi såg även att inhomogeniteten i form av en källterm i diffusionsekvationen kunde överföras på begynnelsevillkoren genom att i stället för temperaturen själv studera skillnaden mellan temperaturen och den stationära lösningen.

Föreläsning 2: Vi härlädde vågekvationen i en dimension för en transversellt svängande sträng och longitudinella tryckvågor i en stav. Som exempel togs gitarrsträngar och vi såg hur dessas densitet och spännkraft påverkar våghastigheten i strängen och därigenom strängens egenfrekvenser. Vi påbörjade utvecklingen av lösningar i serier med exempel på diffusions- och vågekvationerna i en dimension. Slutligen noterade vi att fysikaliska modeller ofta har begränsningar genom att notera att vågekvationen inte kan vara hela sanningen i fallet gitarrsträngar då tonerna klingade bort efter hand. Vi kommer återkomma till detta senare i kursen.

Föreläsning 3: Framför allt diskussion om diskretisering av partiella differentialekvationer. Vi gick igenom hur dessa skrivs om i formen av differensekvationer och då blir till ordinära differentialekvationer i flera variabler. Vi såg hur rumsdiskretisering ledde till lösningar expanderade i egenvektorer till en matris A och hur dessa utvecklades med tiden. Förutom detta gick vi även igenom hur differensekvationerna ser ut då även tiden diskretiseras och såg hur detta kan leda till numeriska instabiliteter för vissa val av storlek på tidsstegen. Slutligen såg vi hur diskretiseringen av Laplaceoperatorn med tillhörande randvillkor ledde till att vi var tvugna att lösa ett större linjärt ekvationssystem utan att stega i tiden.

Föreläsning 4: Vi gick igenom den fysikaliska tolkningen av termerna med egenvärde λ = 0 vid svängnings och diffusionsproblem och konstaterade att det rörde sig om translationer av hela lösningen. I fallet med svängningar av en sträng såg vi att detta motsvarade translationer av hela strängen och i fallet av diffusionsekvationen att detta motsvarades av medelkoncentrationen över hela området. Vidare såg vi hur det diskreta fallet hänger ihop med det kontinuerliga och att serielösningarna vi får fram vid variabelseparation motsvarar egenfunktioner till en Sturm-Liouville-operator på ett funktionsrum.

Föreläsning 5: Egenfunktionerna till laplaceoperatorn i polära koordinater studerades med hjälp av variabelseparation. Lösningen för vinkeldelen konstaterades vara en familj av funktioner som benämns besselfunktioner. Besselfunktionerna har flera egenskaper som vi känner igen från sinus och cosinus. Den egenskap vi kommer använda oss mest utav är det faktum att de har oändligt många nollställen och oändligt många nollställen till derivatan, vilket hjälper oss att anpassa funktionerna till homogena randvillkor utan att få en trivial lösning. Vi konstaterade att till skillnad från sinus och cosinus så har besselfunktionerna inte periodiska nollställen, vilket bland annat leder till att frekvenserna hos ett cirkulärt membran ej är jämna multiplar av varandra.

Föreläsning 6: Vi studerade laplaceoperatorn i sfäriska koordinater. Vi studerade speciellt vinkeldelen, vilken innehöll egenskaper som inte fanns i fallet med polära koordinater. Egenfunktionerna till vinkeldelen visade sig vara de så kallade klotytefunktionerna som allmänt kan användas som en bas för funktioner på en sfär. Dessa kommer att bli mycket viktiga i bland annat kvantmekaniken, där de motsvarar olika orbitaler och rörelsemängdsmoment. Vidare såg vi att de radiella lösningarna, sfäriska besselfunktioner, i många hänseenden liknar besselfunktionerna från fallet med polära koordinater. En viktig skillnad är att de sfäriska besselfunktionerna låter sig uttryckas i sluten analytisk form.

Föreläsning 7: Vi studerade system med tidsberoende inhomogeniteter samt kritiska diffusionssystem i ändliga rum genom att utveckla inhomogeniteter i serielösningar. Detta gjordes genom att betrakta Sturm-Liouville-problem vilket gav oss en ortogonal bas för funktionsrummet som vi kunde använda oss av vid serieutvecklingen. I fallet påtvingade svängningar såg vi att varje svängningsmod gav upphov till en inhomogen ODE vilken kunde lösas på sedvanligt sätt och därigenom löstes hela problemet. Vi såg att amplituden för partikulärlösningen kunde växa obegränsat om systemet inte var dämpat samt antog sitt största värde då den yttre kraften hade en frekvens som överensstämmer med en av systemets egenfrekvenser.

Föreläsning 8: Under föreläsningen gick vi igenom hur serieutvecklingar kunde användas även för stationära lösningar till diffusions- och vågekvationerna, alternativt till Poissons ekvation. Den stora skillnaden kom i att vi var tvugna att använda oss av en serielösning i en riktning i vilken vi har homogena randvillkor. De allmänna lösningarna för godtyckliga randvillkor kunde sedan byggas upp av olika lösningar då ekvationerna är linjära. Vi noterade att i fallet med polära koordinater så spelade de modifierade besselfunktionerna Im och Km samma roll som de hyperboliska funktionerna sinh och cosh gör i det kartesiska. Förutom detta gick vi igenom distributionskonceptet och noterade att alla lösningar vi talat om hittills i kursen bör tolkas i distributionsmening. Detta speciellt då många av våra lösningar inte varit deriverbara men ändå ansetts som lösningar till olika partiella differentialekvationer.

Föreläsning 9: Vi generaliserade variabelseparationsbegreppet till ett oändligt rum och såg att summorna vi tidigare skrivit ner övergick till integraler, varpå serielösningarna övergick till transformer. Vi såg även exempel på hur transformer kan användas i halvoändliga rum och hur detta kan skrivas om till problem i hela rummet med hjälp av spegelladdningar. Vi diskuterade hur lösningar kan skrivas ner på integralform i termer av så kallade fundamentallösningar (greenfunktioner). På så sätt kan vi bygga upp en lösning från fundamentallösningarna genom att summera bidragen från de olika inhomogeniteterna.

Föreläsning 10: Vi fortsatte att gå igenom olika aspekter av greenfunktioner. Speciellt tittade vi på olika speglingsmetoder och hur upprepade speglingar skall behandlas samt hur inhomogeniteter i randvillkoren kan innefattas i greenfunktionslösningarna. Genom att välja rätt randvillkor till greenfunktionen kunde vi se att vi fick ut en entydig lösning.
Senast uppdaterad: Feb 21, 2014